Logik

Der Begriff Logik stammt aus dem Griechischen und bedeutete die denkende Kunst (oder Vorgehensweise); sie ist die Lehre des “vernünftigen Schlussfolgerns”. Als solche untersucht sie die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich ihrer Struktur, unabhängig vom konkreten Inhalt der eigentlichen Aussagen, sodass man auch von „formaler“ Logik spricht.

Seit dem 20. Jahrhundert wird Logik vornehmlich als symbolische (mathematische) Logik (formale Logik im engeren Sinn) begriffen. Diese beruht auf einer künstlichen Sprache und benutzt streng definierte Schlussregeln. Die Aussagenlogik ist ein einfaches Beispiel für ein derartiges formales System.

Logik ist eng mit der Philosophie verbunden. Der Philosoph Bertrand Russell (1872-1970) legte mit Principia Mathematica die Basis einer axiomatischen formalen Logik. In ihrer historischen Entwicklung ist die Logik gemeinschaftlich mit der Mengenlehre aufgetreten. Hierzu fällt uns die schulische Mengenlehre ein, wie sie zwischen 1960 und 1990  ,„in Mode” war, doch steht die Mengenlehre seit der Antike im Zentrum, trug sie wesentlich zu unseren Zahlbegriffen und zur Physik bei, während der letzten drei Jahrhunderte zur Infinitesimal- und Integral-Rechnung, als „Calculus” – verbunden jedoch mit der Zahlentheorie. Ein moderner analytisch-algebraischer Ansatz, vorbereitet in jener Zeit!

Die Aussagenlogik bildet eine wichtige Grundlage der Mathematik und Informatik. Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Atomare (nicht zerlegbare) Aussagen können mit Hilfe von logischen Operatoren verknüpft oder verneint werden. Wichtige Operatoren sind insbesondere Negation, Konjunktion, Disjunktion und Implikation. Tabelle 1 zeigt die Wahrheitswerte einer logischen Implikation „wenn a, dann b”, wobei a und b logische Aussagen sind. Diese Tabelle an sich gilt vollkommen unabhängig vom Inhalt von a und b. Die Implikation besagt gar nichts darüber, ob a wahr ist oder nicht. Es besagt nur, dass wenn a wahr ist, dann auch b wahr ist. Für den Fall, dass a falsch ist, wird über b keine aussage gemacht. Für die Verneinung einer verknüpften Aussage gelten die De Morganschen Regeln.

Die Aussagenlogik behandelt nur Aussagen, die entweder wahr oder falsch sind. Es ist aber klar, dass es viele Aussagen gibt, die nicht eindeutig wahr oder falsch sind. Bei der mehrwertigen Logik sind mehrere als zwei Wahrheitswerte möglich. Ein Beispiel davon ist die Fuzzy-Logik. Die Prädikatenlogik behandelt im Gegensatz zur Aussagenlogik auch Inhalte von Aussagen und nicht nur den formalen Aufbau.

Zur Veranschaulichung von Logik dienen vielfach Schaltkreise und -tafeln, Systeme, Regel- und Netzwerke, was ihre Bedeutung für den Computer, für Berechnung und Berechenbarkeit unterstreicht. Dieses wirkt hinein in Computer-Wissenschaft und -Technik,  Elektrotechnik, Daten- und Kommunikationsschutz, Transport und Verkehrswesen, Bio-Wissenschaften und -Technologie, und in die aufstrebenden Felder von sozialer Komplexität, Umweltschutz und Entwicklung.

Auf der Schnittfläche von Logik, Philosophie und der Verwendung von Computer-Modellen stehen Entscheidbarkeitsprobleme der Existenz von Lösungen zu Fragen der Diskreten Mathematik, der Entscheidbarkeit (und Berechenbarkeit) in “polynomialer Zeit”. Diese haben die Komplexitätstheorie begründet – eine gemeinsame Basis von Diskreter Mathematik und Informatik. Erfüllbarbeitsprobleme aussagenlogischer Klauseln dienen als Prototyp schwerster unter den schweren (NP-vollständiger) Probleme; auf sie reduzieren Forscher Probleme derselben Komplexitätsstufe. Der Aufwand von Näherungsalgorithmen wird abgeschätzt, „Tradeoffs” zwischen Effizienz der Berechnung und Genauigkeit der Lösung untersucht, über endlichen, aber auch unendlichen Zahlkörpern.

In der Wirtschaftsinformatik ist Logik zunächst relevant als Grundlage der Informatik und Mathematik. Weiterhin werden logische Regeln bei der Formulierung von Restriktionen in der gemischt-ganzzahligen Optimierung sowie in Constraint Programming und regelbasierten Expertensystemen genutzt.