Multikriterielle Optimierung

Zur Bestimmung von Kompromisslösungen für Entscheidungsprobleme, in denen mehrere und zum Teil gegenläufige Ziele angestrebt werden, wird die multikriterielle Optimierung verwendet.

Zwei Hauptrichtungen

Da Entscheidungsmodelle mit mehreren Zielsetzungen die Realität oftmals besser beschreiben als die allein an einer einzelnen Zielsetzung orientierten Entscheidungsmodelle, wurden in den letzten Jahrzehnten zahlreiche Ansätze zur multikriteriellen Entscheidungsun­terstützung entwickelt, die oft speziell auf konkrete Problemstellungen zugeschnitten sind. Mehrzielentscheidungsmodelle werden grundsätzlich in Multi Attribute Decision Making (MADM) für diskrete Alternativen und in Multi Objective Decision Making (MODM) für stetige Lösungsräume unterschieden [Zimmermann, Gutsche, 1991, Stewart, 1992, Figueira et al. 2005].

Multi Attribute Decision Making (MADM)

Mit Hilfe der multiattributiven Entscheidungsmodelle (Multi Attribute Deci­sion Making – MADM) werden verschiedene diskrete Alternativen oder Handlungsoptionen im Hinblick auf mehrere Kriterien bewertet. [Roy, Bouyssou, 1993] nennen drei Arten der Entscheidung, nämlich Selektion der besten Alternative (α-Entscheidung), Sortieren in verschiedene Klassen (β-Entscheidung) und Ordnen aller untersuchter Alternativen (γ-Entscheidung). In Abhängigkeit von der Art und Qualität der vorliegenden Information wurden etliche Ver­fah­ren entwickelt (vgl. Tabelle 1 nach [Chen et al. 1992, Hwang, Yoon 1981, Zimmermann, Gutsche 1991]).

Tabelle 1: Klassifikation von MADM-Verfahren

Liegen keine Informationen über die Präferenzen der Ent­scheidungsträger vor, so kommen das optimistische Maxi­max- oder das pessimisti­sche Minimax-Verfahren in Frage. Gibt der Entscheidungsträger hin­gegen Informationen über die Kriterien in Form von Anspruchsniveaus vor, so stehen ihm disjunk­tive Verfahren zur Berücksichtigung kompensatorischer Effekte zwischen den Krite­rien oder konjunktive Ver­fahren ohne Berücksichtigung kompensatorischer Effekte zur Ver­fügung. Handelt es sich bei den Informationen über die Kriterien um ordinale Informationen hinsicht­lich ihrer Wichtig­keit, so können etwa lexikographische Verfahren, die die Kriterien in der Reihenfolge ihrer Wichtigkeit berücksichtigen, oder die aspektweise Elimination her­angezo­gen werden.

Die Hauptgruppe der in der Literatur vorgeschlagenen Verfahren basiert auf kar­dinaler Informa­tion über die Kriterien, die nach bestimmten Regeln ausgewertet werden. Bekannte Vertreter dieser „klassischen MADM-Verfahren“ sind die Nutzwertanalyse [Zangemeister 1976] und ihre Weiterentwicklung als MAUT (engl.

Multi attribute utility theory) [Keeney, Raiffa 1976] sowie der Analytische Hierarchie Prozess (AHP) [Saaty 1980, Saaty 1991]. Bei diesen Verfahren wird vorausgesetzt, dass der Entscheidungsträger eine genaue Vorstel­lung über den Nutzen der Kriterienausprägungen und die Kriteriengewichtungen hat, die es im Rahmen der Entscheidungsunterstützung offenzulegen und zu interpretieren gilt. Sind dem Entschei­dungs­träger seine Präferenzen nicht bewusst, können die so genann­ten Out­ranking-Ver­fahren (z.B. ELECTRE [Roy, Bouyssou 1993], PROMETHEE [Brans et al. 1986]) eingesetzt werden, die während des Entscheidungs­prozesses die Struktur der Entscheidungssituation und die Konsequenzen der Wahl unterschied­licher Kri­terienge­wichtungen aufzeigen.

Multi Objective Decision Making (MODM)

Im Gegensatz zu MADM-Problemen ist bei den MODM-Verfahren die Alterna­tivenmenge nicht explizit vorbestimmt, sondern alle Alternativen gelten als zulässig, die die Neben­bedin­gungen erfüllen, so dass der Lösungsraum als zusammenhängende Teilmenge des IRⁿ meist stetig ist. Ferner sind die Ziele (engl. objectives) durch quantifizierbare Ziel­funk­tio­nen gegeben. Die Lösung wird in einem Prozess meist anhand von „Tradeoffs“ (Austauschraten) ermittelt. Die „beste“ Alternative wird also aus dem Lösungs­raum heraus berechnet. Wegen der Darstellung der Zielfunktionen in Form von Vektoren, die gleich­zei­tig zu opti­mie­ren sind, bezeichnet man MODM-Modelle auch als Vektor­optimierungs­modelle [Jahn 2004, Miettinen 1999]:

Es seien K > 1 reellwertige Zielfunktionen z₁, z₂, … z_K gegeben, die über der Menge X der zu­lässigen Lösungen im X aus Rⁿ gleichzeitig zu maximieren sind. Dann bezeichnet z(x) den Zielfunktionsvektor mit den Komponenten z_k für alle k aus K und für alle x aus X.

Eine Lösung des Optimierungsproblems besteht aus zwei Schritten:

• Elimination ineffizienter (nicht undominierter) Lösungen und
• Auswahl der effizienten Lösungen.

Eine (funktional) effiziente Lösung heißt auch pareto-optimale Lösung in Anlehnung an die Ergebnisse der Wohlfahrtstheorie. Dabei ist x* dann eine (funktional) effiziente Lösung, wenn es keinen Vektor x gibt, der fol­gende Bedingungen erfüllt:

(x) ≥ (x*)

  k = 1,…,K

(x) > (x*) für mindestens ein k 

Bei der Auswahl einer speziellen funktional effizienten Lösung müssen nach [Zimmermann, Gutsche 1991, S. 107] „zwangsläufig die Grenzen der reinen Mathematik überschritten wer­den, damit die subjektiven Präferenzen des Entscheidungsfällers Raum finden können.“ Tabelle 2 zeigt eine Übersicht über einige der bekannteren MODM-Verfah­ren, die sich nach der Art der Informationen klassifizieren lassen [Hwang, Masud 1979, Zimmermann, Gutsche 1991]: Wird die Präferenz­information nach der Anwendung des MODM-Verfahrens ausgewertet, spricht man von a posteriori Informationen. Ist die Präfe­renzinformation dagegen zuvor bekannt, liegt eine a priori Infor­mation vor und kann für die Ermittlung des Zielerrei­chungsgrads genutzt werden. Wird die Information in einem iterativen Prozess wäh­rend des Verfahrens erlangt, so zeichnet sich das Verfahren durch eine so genannte „pro­gressive Infor­mation“ aus. Wenn der Entscheidungsträ­ger dabei Substitutionsraten zwi­schen den Zielfunk­tionen angeben muss, spricht man von MODM-Verfahren mit impli­ziten Trade­offs.

Tabelle 2: Klassifikation von MODM-Verfahren

Anwendungsgebiete

Dank zahlreicher Softwarelösungen [Belton, Stewart 2002, Figueira et al. 2005] werden Methoden zur multikriteriellen Optimierung inzwischen in verschiedensten Entscheidungsproblemen eingesetzt, um Einblick in mögliche Konsequenzen unterschiedlicher Handlungsweisen zu gewinnen. Zugleich ist bekannt, dass keine universell einsetzbare Methode existiert [Guitouni, Martel 1998].

Literatur

Belton, Valerie; Stewart, Theodor: Multiple Criteria Decision Analysis – An integrated approach., Boston: Kluwer Academic Press, 2002.

Brans, Jean-Pierre; Vincke, Philippe; Mareschal, Bertrand: How to select and how to rank projects: The PROMETHEE method., European Journal of Operational Research 24, pp. 228-238, 1986.

Chen, S. J.; Hwang, C. L.; Hwang, F. P.: Fuzzy Multiple Attribute Decision Making, Methods and Applications., Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Berlin: Springer, 1992.

Figueira, José; Greco, Salvatore; Ehrgott, Matthias: Multiple Criteria Decision Analysis – State of the Art Surveys., New York: Springer, 2005.

Guitouni, Adel; Martel, Jean-Marc: Tentative guidelines to help choosing an appropriate MCDM method., European Journal of Operational Research, 1998.

Hwang, C. L.; Masud, A. S.: Multiple Objective Decision Making: Methods and Applications; A State-of-the-Art Survey., Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Berlin: Springer Verlag, 1979.

Hwang, C. L.; Yoon, K.: Multiple Attribute Decision Making: Methods and Applications; A State-of-the-Art Survey., Heidelberg: Springer, 1981.

Jahn, Johannes: Vector Optimization: Theory, applications, and extensions., Heidelberg: Springer, 2004.

Keeney, Ralph L; Raiffa, Howard: Decisions with multiple objectives: Preferences and value tradeoffs., New York: John Wiley, 1976.

Miettinen, Kaisa: Nonlinear Multiobjective Optimization., Boston: Kluwer Academic Publishers, 1999.

Roy, Bernard; Bouyssou, Denis: Aide multicritère à la décision., Paris: Economica, 1993.

Saaty, Thomas L.: The Analytic Hierarchy Process., New York: McGraw Hill, 1980.

Saaty, Thomas L.: How to make a decision: The Analytic Hirarchy Process., European Journal of Operational Research 48, pp. 9-26, 1991.

Stewart, T. J.: A Critical Survey on the Status of Multiple Criteria Decision Making Theory and Praxis., OMEGA – International Journal of Management Science 20 (5/6), pp. 569-586, 1992.

Zangemeister, Christof: Nutzwertanalyse in der Systemtechnik. 4. Auflage, München: Wittemann, 1976.

Zimmermann, H. J.; Gutsche, L.: Multi-Criteria Analyse., Heidelberg: Springer, 1991